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Die erste saubere (Gegen-)Beweisführung erntet eine Kiste Bier von mir
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Nichts einfacher als das, einige Annahmen vorausgesetzt, die ich deiner Ausfuehrung entnehme:- "Schwankende Tagesform" meint nicht die Schwankungen innerhalb eines Tages, sondern "an einem Tag konstant stark, an einem anderen konstant schwach".
- "Gleiche Staerke zweier Spieler" bedeutet sowas wie "wuerden beide Spieler viele Spiele ueber einen langen Zeitraum gegen die identischen Gegner spielen haetten sie eine annaehernd gleiche Bilanz"
- "Punktspiel" bedeutet im Wesentlichen "maximal drei Spiele an einem Tag"
- Die Turnierklasse entspricht der Spielstaerke des Spielers
- Beide Spieler spielen die gleiche Anzahl an Spieltagen
Falls das nicht deiner "Aufgabe" entspricht, bitte korrigieren.
Aaaaaalso:
Nehmen wir zur Vereinfachung nicht zwei verschiedene, gleichstarke Spieler an, sondern genau EIN Spieler mit mittlerer Spielstaerke
X und schwankender Tagesform, der ueber einen laengeren Zeitraum nur Turniere spielt, und ueber einen anderen laengeren Zeitraum nur Punktspiele bestreitet. Dann umgehen wir das "gleichstark"-Problem.
Als weitere zulaessige Vereinfachung koennen wir ueber die Spielstaerke der Gegner mitteln, die damit ebenfalls Spielstaerke
X besitzen, und dafuer hinreichend viele Spiele betrachten. Sei also die Anzahl der Spieltage in der Turnier- wie auch Punktspiel-Phase sei
N (gross).
Die Gewinnwahrscheinlichkeit, dass der Spieler gegen einen Gegner mittlerer Spielstaerke
X gewinnt, sei
0.5+E im Falle eines guten Tages, und
0.5-E im Falle eines schlechten Tages, wobei
0 < E <= 0.5 gilt.
Zudem sei die Anzahl der schlecht-Form-Tage gleich der Anzahl der gut-Form-Tage.
- Fall 1 (Punktspielphase): Da N gross ist, koennen wir die Gewinnwahrscheinlichkeit mitteln, der Spieler gewinnt also (0.5+E+0.5-E)/2 ~ 50% seiner Spiele.
- Fall 2 (Turnierspielphase): In N/2 seiner Turniere hat er eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0.5+E mit einer erwarteten Sieganzahl von S1 und einer Niederlagenanzahl von 0 oder 1. In den anderen N/2 seiner Turniere hat er eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0.5-E mit einer erwarteten Sieganzahl von S2. Dabei ist S1>S2.
Damit spielt er im ersten Fall M Spiele mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von (0.5+E) und im zweiten Fall K Spiele mit einer Wahrscheinlichkeit von (0.5-E), und es gilt wegen S1>S2: (M>K).
Insgesamt gewinnt er ((0.5+E)M+(0.5-E)K))/(M+K) = 0.5+E(M-K)/(M+K) > 0.5 ~ 50% seiner Spiele.
Damit ist im Turnierfall sein ermittelter TTR-Wert hoeher, als im Pflichtspielfall.
Freue mich auf das Bier!
Gruesse,
Johannes